排列组合的公式不看顺序

去年夏天，我在图书馆里闲逛，无意间翻开了一本高中数学书，突然想起高中时的一次课堂小测验。那时候，老师出了一道排列组合的题，全班同学都在埋头计算，只有我愣住了。当时我就在想，为什么排列组合一定要考虑顺序呢？
我记得那次测验，题目是：从5个不同的字母中任取3个字母，有多少种不同的排列方式？我算了算，按照传统方法，是(5 \times 4 \times 3 = 60)种。但后来我突然想到，如果只考虑字母本身而不考虑顺序，那不就只需要选择3个字母就可以了？那不就是(C(5,3) = 10)种吗？
时间：2013年 地点：市图书馆 数字：5个字母，3个字母，60种，10种
等等，还有个事，我突然想到，如果这5个字母中有一个是重复的，那又会怎样呢？

说起来排列组合，这可是我当年在大学里头学到的一个头疼的点。记得有一次，我们宿舍那哥们儿为了准备考研，天天熬夜背这些公式，结果考试的时候还是搞错了。
说实话，排列组合的公式不看顺序，其实说的是组合公式。组合和排列的区别就在于，排列是考虑顺序的，而组合是不考虑顺序的。举个例子，比如我有三个苹果，A、B、C，我要从中选两个，排列的话，可以是AB、AC、BA、BC、CA、CB，一共六种。但如果只看组合，不考虑顺序，那我就只有三种组合，就是AB、AC、BC。
这个组合公式，用数学符号表示就是C(n, k)，n是总数，k是要选的数目。比如上面那个例子，就是C(3, 2)。这个公式其实也不复杂，就是n! / [k! (n-k)!]，这里的"!"表示阶乘，就是1到n的所有正整数相乘。
我当时也没想明白，怎么就突然能算出来这么多组合。后来想想，可能是因为组合公式背后的逻辑很简单，就是从n个不同元素中，不重复地选取k个元素的组合数。这块我没亲自跑过，但数据我记得是C(3, 2)等于3，这个应该是对的，你可以自己试试看。